الرياضيات — الإحصاء: الوسط الحسابي والوسيط والمنوال — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الإحصاء: الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

الإحصاء (Statistiques) هو فرع من الرياضيات يهتم بجمع البيانات وتحليلها وتفسيرها وعرضها. تعتبر مقاييس النزعة المركزية (Mesures de tendance centrale) من أهم أدوات التحليل الإحصائي، حيث تسمح بتلخيص مجموعة من البيانات في قيمة واحدة تمثل مركز توزيعها.

أولاً: الوسط الحسابي (Moyenne arithmétique)

الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. يعتبر المقياس الأكثر استخداماً للنزعة المركزية.

الصيغة: الوسط الحسابي = (مجموع القيم) / (عدد القيم)

رمزياً: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n أو x̄ = Σx / n

مثال 1:

درجات طالب في 5 مواد: 15, 12, 18, 14, 16

الوسط الحسابي = (15 + 12 + 18 + 14 + 16) / 5 = 75 / 5 = 15

مثال 2 (الوسط الحسابي الموزون):

إذا كانت المعاملات مختلفة (مثلاً: الرياضيات معامل 3، الفيزياء معامل 2):

الوسط الموزون = (15×3 + 12×2) / (3 + 2) = (45 + 24) / 5 = 69 / 5 = 13.8

ثانياً: الوسيط (Médiane)

الوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات تصاعدياً أو تنازلياً.

• إذا كان عدد البيانات (n) فردياً: الوسيط هو القيمة التي ترتيبها (n+1)/2
• إذا كان عدد البيانات (n) زوجياً: الوسيط هو متوسط القيمتين المركزيتين

مثال 1 (فردي):

البيانات: 5, 3, 9, 7, 1 → بعد الترتيب: 1, 3, 5, 7, 9

الوسيط = 5 (القيمة الثالثة)

مثال 2 (زوجي):

البيانات: 12, 8, 15, 10 → بعد الترتيب: 8, 10, 12, 15

الوسيط = (10 + 12) / 2 = 11

ثالثاً: المنوال (Mode)

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات. قد يكون هناك منوال واحد (أحادي) أو عدة منوال (متعدد) أو لا يوجد منوال.

مثال:

البيانات: 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 9

المنوال = 4 (لأنه تكرر 3 مرات)

رابعاً: مقارنة بين المقاييس الثلاثة

• الوسط الحسابي: يتأثر بالقيم المتطرفة (شاذة)، مناسب للبيانات المتناظرة
• الوسيط: لا يتأثر بالقيم المتطرفة، مناسب للبيانات المنحرفة
• المنوال: مفيد للبيانات النوعية والكمية، يمكن استخدامه مع البيانات غير العددية

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

لديك الدرجات التالية: 16, 13, 18, 11, 15, 17. احسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال.

التمرين 2:

في صف دراسي، أعمار الطلاب هي: 15, 16, 15, 17, 16, 15, 18, 16. احسب مقاييس النزعة المركزية الثلاثة.

التمرين 3:

إذا أضيفت القيمة 100 إلى مجموعة البيانات في التمرين 1، كيف يتغير الوسط الحسابي والوسيط؟ ماذا تستنتج؟

التمرين 4:

أوجد الوسط الحسابي الموزون لتلميذ حصل على 16 في الرياضيات (معامل 3) و 14 في الفيزياء (معامل 2) و 18 في العلوم (معامل 1).

للمزيد حول الإحصاء، راجع درس مقاييس التشتت: التباين والانحراف المعياري وكذلك درس الإحصاء: التمثيل البياني.