أساسيات المصفوفات في الجبر الخطي

أساسيات المصفوفات في الجبر الخطي

المصفوفات (Matrices) هي أحد الركائز الأساسية في الجبر الخطي، وتستخدم في مجالات واسعة مثل حل أنظمة المعادلات الخطية، التحليل العددي، والذكاء الاصطناعي. المصفوفة هي ترتيب مستطيل من الأعداد مرتبة في صفوف وأعمدة.

تعريف المصفوفة

المصفوفة ذات البعد m × n تتكون من m صف و n عمود. يرمز لعنصر المصفوفة في الصف i والعمود j بالرمز a_ij. تكتب المصفوفة بين قوسين مربعين أو دائريين.

العمليات على المصفوفات

• الجمع: يجمع مصفوفتين لهما نفس البعد عن طريق جمع العناصر المتناظرة.
• الضرب بعدد: ضرب كل عنصر في المصفوفة بهذا العدد.
• ضرب المصفوفات: إذا كانت A من البعد m×n و B من البعد n×p، فإن AB من البعد m×p.
• المنقلب (Transpose): قلب المصفوفة بحيث تصبح الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفاً.

أنواع المصفوفات

من أهم أنواع المصفوفات: المصفوفة المربعة (عدد الصفوف = عدد الأعمدة)، مصفوفة الوحدة (قطرها الرئيسي يساوي 1 وباقي العناصر 0)، المصفوفة المتماثلة (A = A^T)، والمصفوفة المثلثية.

مثال تطبيقي

لتكن A = [[1, 2], [3, 4]] و B = [[5, 6], [7, 8]]. احسب A + B و AB.
الحل: A + B = [[6, 8], [10, 12]] AB = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]]

للتعمق أكثر في موضوع الجبر الخطي، يمكنكم مراجعة درس الهندسة التحليلية في الفضاء الذي يستخدم المصفوفات في تمثيل التحويلات الهندسية.

📍 دروس مشابهة:

• Français — Les verbes du 1er groupe au présent de l’indicatif — 1ère Année Moyenne — Programme Algérien
• اللغة العربية — الفعل الصحيح والفعل المعتل: أقسامهما — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري
• علوم الطبيعة — درس الجهاز الدوراني — الثانية متوسط — المنهاج الجزائري