الرياضيات — التمثيلات البيانية للدوال: القراءة والتحليل — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التمثيلات البيانية للدوال: القراءة والتحليل

يعتبر التمثيل البياني للدوال أداة بصرية قوية تسمح بفهم سلوك الدالة دون الحاجة إلى حسابات معقدة. في هذا الدرس سنتعلم كيفية قراءة وتحليل التمثيلات البيانية.

أولاً: مفهوم التمثيل البياني

التمثيل البياني للدالة f هو مجموعة النقاط (x, f(x)) في المستوي الإحداثي. عند تمثيل دالة، نحدد محور الأفاصيل (Ox) ومحور الأراتيب (Oy)، ونمثل النقاط التي تحقق العلاقة y = f(x).

ثانياً: قراءة التمثيل البياني

• مجموعة التعريف: هي مجموعة قيم x التي توجد لها الدالة، وتقرأ على محور الأفاصيل.
• الصورة: لحساب صورة عدد a بالدالة f، نبحث عن النقطة التي أفصولها a على المنحني ثم نقرأ أرتيبها.
• السوابق: لحساب السوابق الممكنة للعدد b، نبحث عن النقط التي أرتيبها b على المنحني ونقرأ أفاصيلها.
• اتجاه التغير: نحدد المجالات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة.

ثالثاً: تحليل التمثيل البياني

يمكننا من التمثيل البياني تحديد:

• إشارة الدالة: المجالات التي تكون فيها f(x) > 0 (المنحني فوق محور الأفاصيل) أو f(x) < 0 (تحت المحور).
• القيم القصوى: النقط التي يكون عندها للمنحني أعلى أو أدنى قيمة.
• النهايات: سلوك الدالة عندما تؤول x إلى ±∞.

مثال تطبيقي

لتكن الدالة f(x) = x² – 2x. من التمثيل البياني نلاحظ أن:

– الدالة معرفة على ℝ.
– f(0) = 0 و f(2) = 0 (نقط تقاطع المنحني مع محور الأفاصيل).
– الدالة متناقصة على ]-∞, 1] ومتزايدة على [1, +∞[.
– f(1) = -1 هي القيمة الدنيا للدالة.

تمارين

1. إذا كان لديك التمثيل البياني للدالة g(x) = x³ – 3x، حدد مجالات تزايد وتناقص الدالة.
2. أوجد إشارة الدالة h(x) = -x² + 4 باستخدام التمثيل البياني.
3. مثل بيانياً الدالة f(x) = |x – 2| ثم اقرأ صورة 0 و 4.

روابط مفيدة

لتعزيز فهمك، راجع درس الهندسة التحليلية: معادلة مستقيم في المستوى وكذلك درس المعادلات من الدرجة الثانية.